New PDF release: Analysis I [Lecture notes]

By Dirk Ferus

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N n n (24) 1 1 1 1 − (1/2)n ≤ 1 + 0 + . . + n−1 = 1 + < 3. k! 2 2 1 − 1/2 (25) Aus (24) ersieht man, dass die Folge monoton wachsend ist, und nach (25) ist sie beschr¨ankt. Ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e. Eine notwendige Bedingung f¨ ur die Konvergenz ist die Beschr¨anktheit: Lemma 72. Jede konvergente Folge ist beschr¨ ankt. Beweis. Sei lim xn = a. h. ∀n≥N a − 1 < xn < a + 1. Dann gilt erst recht ∀n≥N − |a| − 1 < xn < |a| + 1. Dann gilt zum Beispiel f¨ ur alle n ∈ N −|x0 | − . . − |xN | − |a| − 1 < xn < |x0 | + .

F¨ ur |z| ≥ 1 und 0 ≤ k ≤ n − 1 ist |z|k ≤ |z|n−1 und daher nach der Dreiecksungleichung n−1 n−1 k=0 n−1 ck z k ≤ ck z k ≤ |ck | |z|n−1 =: C|z|n−1 . k=0 k=0 Nach Korollar 9 ist daher f¨ ur |z| ≥ 1 |h(z)| ≥ |cn ||z|n − C|z|n−1 = |z|n−1 (|cn ||z| − C). (12) Ist cn = 0, so ist die rechte Seite f¨ ur |z| > max(1, |cCn | ) positiv. Insbesondere ist also |h(x)| ≥ xn−1 (|cn |x − C) > 0 f¨ ur reelles x > max(1, |cCn | ) im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist cn = 0. Daraus folgt die Behauptung (11).

N→∞ Im ersten Fall setzen wir lim sup xn := +∞ Also existiert lim sup xn ∈ R ∪ {+∞, −∞} f¨ ur jede reelle Folge (xn ). Entsprechend definiert man lim inf xn := lim inf{xk | k ≥ n}. n→∞ Satz 96. Sei (xk )k∈N eine reelle Folge. Dann gilt (i) Ist lim sup xk ∈ R, so ist dies der gr¨ oßte H¨ aufungspunkt der Folge (xk )k∈N . Analog f¨ ur lim inf. (ii) (xk )n∈N ist genau dann konvergent gegen a ∈ R, wenn lim inf xk = a = lim sup xk . Beweis. Zu (i). Sei b := lim sup xk und sei sn := sup xk k ≥ n . Wir definieren nun rekursiv eine Teilfolge (xkm )m∈N mit limm→∞ xkm = b.

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by Steven
4.3

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