New PDF release: Analysis I [Lecture notes]

By Dirk Ferus

Show description

Read Online or Download Analysis I [Lecture notes] PDF

Similar structured design books

Download e-book for kindle: Relational Database Design Clearly Explained, Second Edition by Jan L. Harrington

Absolutely revised and up to date, Relational Database layout, moment variation is the main lucid and potent creation to relational database layout to be had. the following, you will discover the conceptual and useful info you want to improve a layout that guarantees information accuracy and person delight whereas optimizing functionality, despite your adventure point or selection of DBMS.

Read e-book online R-Trees: Theory and Applications (Advanced Information and PDF

Area aid in databases poses new demanding situations in everything of a database administration approach & the potential of spatial aid within the actual layer is taken into account vitally important. This has resulted in the layout of spatial entry tips on how to permit the potent & effective administration of spatial items.

New PDF release: Computational analysis and design of bridge structures

Achieve self belief in Modeling strategies Used for sophisticated Bridge constructions Bridge buildings differ significantly in shape, measurement, complexity, and significance. The tools for his or her computational research and layout variety from approximate to subtle analyses, and swiftly enhancing laptop expertise has made the extra subtle and intricate equipment of analyses extra regular.

Extra info for Analysis I [Lecture notes]

Sample text

N n n (24) 1 1 1 1 − (1/2)n ≤ 1 + 0 + . . + n−1 = 1 + < 3. k! 2 2 1 − 1/2 (25) Aus (24) ersieht man, dass die Folge monoton wachsend ist, und nach (25) ist sie beschr¨ankt. Ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e. Eine notwendige Bedingung f¨ ur die Konvergenz ist die Beschr¨anktheit: Lemma 72. Jede konvergente Folge ist beschr¨ ankt. Beweis. Sei lim xn = a. h. ∀n≥N a − 1 < xn < a + 1. Dann gilt erst recht ∀n≥N − |a| − 1 < xn < |a| + 1. Dann gilt zum Beispiel f¨ ur alle n ∈ N −|x0 | − . . − |xN | − |a| − 1 < xn < |x0 | + .

F¨ ur |z| ≥ 1 und 0 ≤ k ≤ n − 1 ist |z|k ≤ |z|n−1 und daher nach der Dreiecksungleichung n−1 n−1 k=0 n−1 ck z k ≤ ck z k ≤ |ck | |z|n−1 =: C|z|n−1 . k=0 k=0 Nach Korollar 9 ist daher f¨ ur |z| ≥ 1 |h(z)| ≥ |cn ||z|n − C|z|n−1 = |z|n−1 (|cn ||z| − C). (12) Ist cn = 0, so ist die rechte Seite f¨ ur |z| > max(1, |cCn | ) positiv. Insbesondere ist also |h(x)| ≥ xn−1 (|cn |x − C) > 0 f¨ ur reelles x > max(1, |cCn | ) im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist cn = 0. Daraus folgt die Behauptung (11).

N→∞ Im ersten Fall setzen wir lim sup xn := +∞ Also existiert lim sup xn ∈ R ∪ {+∞, −∞} f¨ ur jede reelle Folge (xn ). Entsprechend definiert man lim inf xn := lim inf{xk | k ≥ n}. n→∞ Satz 96. Sei (xk )k∈N eine reelle Folge. Dann gilt (i) Ist lim sup xk ∈ R, so ist dies der gr¨ oßte H¨ aufungspunkt der Folge (xk )k∈N . Analog f¨ ur lim inf. (ii) (xk )n∈N ist genau dann konvergent gegen a ∈ R, wenn lim inf xk = a = lim sup xk . Beweis. Zu (i). Sei b := lim sup xk und sei sn := sup xk k ≥ n . Wir definieren nun rekursiv eine Teilfolge (xkm )m∈N mit limm→∞ xkm = b.

Download PDF sample

Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

by Steven

Rated 4.06 of 5 – based on 42 votes